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By Povl Thomsen

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J Xj On a alors _ akj Xj - -1-1 akj 1 si akj = 0 = IIXII = LakjXj = = j L lakjl· j -L Î n Donc akj -1- O. akj akj -_ 1akj 1, et SI. akj 0 on a a/çj Xj -_ -1--1 akj 0 x I = akj . En effet, si akj = . SI I et la k-ième composante de AX s'écrit: Yk akj Xj . J == 0 on a n IIAXII;? L lakjl d'où N(A);? mF {L laijl} . j=1 j=l La formule est donc prouvée. b) Montrons que N(A) = max{Llaijl}. J . t = IXll + .. + IXnl :::; I IIAXII = L (1 LaijXji) :::; L L laijllxjl = • Soit X E «:;n tel que i IIXII j j i Soit lE {l, ..

D'une série géométrique. l-ê En faisant tendre p vers +00, on obtient f(n) - ê d'où f(n) ~ _ ê _ Rn l-ê . ~ Rn , 50 Séries à termes constants ~, En supposant ê < ~ f~:) ~ 2ê , ce qui démontre on a donc 0 la limite annoncée et donc que ŒJ 1. Si L converge, on a : Un +00 lim Sn = S = '""' n-----t + L-t Uk (X) k=O et donc Un ~ 0 , la convergence de sa Comme '""' Un ~sa entraîne celle de '""' V n ~ . 2. Supposons que '""' Un diverge, soit lim Sn = +00 . +oo Sn - Sn-l '1 Remarquons que V n = Sa pour n ~ 1 et, puisque t ......

Comme" f(n) diverge, on a ~ n - lim Sn n-++oo = +00, f(x) dx = 1 et donc: Sn Sn rv +00 r Jo f(x) dx. +00 2. Posons Rn = L f(k). En sommant les inégalités de la question k=n+l précédente pour k E {n, ... , n + p - 1} , on obtient: n+p n+p n+p-l f(k) ~ f(x) dx ~ f(n) + f(k) . k=n+l n k=n+l 1 L L On en déduit d'abord que la suite croissante p bornée par f(n) En posant In = l n +p n f(x) dx est + Rn, donc convergente. lim p--+oo l n +p f(x) dx, on a alors: n Rn ~ In ~ f(n) S'il existe a tel que f(a) Rn = In t-+ pour n ~ a .

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