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A la recherche du temps perdu 6

Albertine Disparue, dont le titre unique est l. a. fugitive, est le sixième tome d'À l. a. recherche du temps perdu de Marcel Proust paru en 1927 à titre posthume. los angeles Fugitive devait originairement regrouper l. a. Prisonnière et Albertine disparue. De fait, Albertine disparue est l. a. suite indissociable, sur le plan narratif au moins, de l. a. Prisonnière.

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J Xj On a alors _ akj Xj - -1-1 akj 1 si akj = 0 = IIXII = LakjXj = = j L lakjl· j -L Î n Donc akj -1- O. akj akj -_ 1akj 1, et SI. akj 0 on a a/çj Xj -_ -1--1 akj 0 x I = akj . En effet, si akj = . SI I et la k-ième composante de AX s'écrit: Yk akj Xj . J == 0 on a n IIAXII;? L lakjl d'où N(A);? mF {L laijl} . j=1 j=l La formule est donc prouvée. b) Montrons que N(A) = max{Llaijl}. J . t = IXll + .. + IXnl :::; I IIAXII = L (1 LaijXji) :::; L L laijllxjl = • Soit X E «:;n tel que i IIXII j j i Soit lE {l, ..

D'une série géométrique. l-ê En faisant tendre p vers +00, on obtient f(n) - ê d'où f(n) ~ _ ê _ Rn l-ê . ~ Rn , 50 Séries à termes constants ~, En supposant ê < ~ f~:) ~ 2ê , ce qui démontre on a donc 0 la limite annoncée et donc que ŒJ 1. Si L converge, on a : Un +00 lim Sn = S = '""' n-----t + L-t Uk (X) k=O et donc Un ~ 0 , la convergence de sa Comme '""' Un ~sa entraîne celle de '""' V n ~ . 2. Supposons que '""' Un diverge, soit lim Sn = +00 . +oo Sn - Sn-l '1 Remarquons que V n = Sa pour n ~ 1 et, puisque t ......

Comme" f(n) diverge, on a ~ n - lim Sn n-++oo = +00, f(x) dx = 1 et donc: Sn Sn rv +00 r Jo f(x) dx. +00 2. Posons Rn = L f(k). En sommant les inégalités de la question k=n+l précédente pour k E {n, ... , n + p - 1} , on obtient: n+p n+p n+p-l f(k) ~ f(x) dx ~ f(n) + f(k) . k=n+l n k=n+l 1 L L On en déduit d'abord que la suite croissante p bornée par f(n) En posant In = l n +p n f(x) dx est + Rn, donc convergente. lim p--+oo l n +p f(x) dx, on a alors: n Rn ~ In ~ f(n) S'il existe a tel que f(a) Rn = In t-+ pour n ~ a .

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