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By Jean-Louis Verdier

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A la recherche du temps perdu 6

Albertine Disparue, dont le titre unique est l. a. fugitive, est le sixième tome d'À l. a. recherche du temps perdu de Marcel Proust paru en 1927 à titre posthume. los angeles Fugitive devait originairement regrouper l. a. Prisonnière et Albertine disparue. De fait, Albertine disparue est l. a. suite indissociable, sur le plan narratif au moins, de los angeles Prisonnière.

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Le degre etant fonctoriel, on a pour tout morphisme m : X ! Y et tout morphisme n : Y ! Z : (1:1:2:2) deg(n) deg(m) = deg(nm) : Les formules precedentes ne font que traduire le fait que C est une categorie au-dessus de G . Exprimons maintenant que la categorie C est une categorie bree au-dessus de G . Il su t pour cela d'exprimer que tout objet de C est but d'un morphisme hypercartesien de degre donne 19]. 3) Pour tout element g de G et tout objet X de C , il existe un isomorphisme de but X et de degre g .

Le compose dans C de u et de v 0 est un element : (1:3:2:5) 0 w = v 0 C u ; w 2 Homg g (X; Z ) qui est, par de nition, le compose de u et de v dans C G] . Le foncteur brant C G] ! G est alors le foncteur evident. La categorie bree C G] ! G est munie d'un clivage normalise canonique. 3. On a en fait un resultat plus precis. Soient C et C 0 deux categories graduees de type G munies de clivages normalises. Le foncteur de nit une bijection : (1:3:3:1) (C ; C 0) : HomGrad(G) (C ; C 0) ! HomG -Cat ( (C ); (C 0)) : Or ces ensembles sont les ensembles d'objets des categories : (1:3:3:2) HomGrad G (C ; C 0) ; ( HomG -Cat( (C ); (C 0)) ) dont les morphismes sont respectivement les morphismes de foncteurs de degre e et les morphismes de foncteurs compatibles avec les operations de G .

Une Zn-categorie stricte est une categorie munie d'une representation de Zn dans son groupe des automorphismes. Pour de nir une telle representation, il su t bien entendu de se donner n automorphismes : T (e1 ); . . ; T (en ) qui commutent deux a deux. 12. Le probleme consistant a determiner sur une categorie donnee les structures de Zn -categorie (non necessairement stricte) est beaucoup moins simple. 3). Par suite, pour se donner une telle structure, il faut se donner un 2-cocycle normalise non homogene de Zn a valeurs dans le groupe des automorphismes du foncteur identique de C .

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